Expositor: Didier Solis, Universidad Autónoma de Yucatán-Mexico.
Título: Avances Recientes en Geometría de Lorentz
Keywords. #Lorentz-Minkowski space, #General Relativity #null hypersurface
Resumen:
Históricamente, el desarrollo de la geometría de Lorentz ha estado íntimamente relacionado con el de la teoría de la Reletividad General. En este mini-curso exploraremos algunas áreas activas de investigación en geometría de Lorentz, abarcando desde temas propios de la matemática abstracta hasta aplicaciones a la Relatividad. Nos enfocaremos en tres aspectos principales: geometría nula, teoría causal y una novedosa perspectiva sintética de la geometría de Lorentz. En la primera sesión describiremos la geometría de hipersuperficies nulas usando en lo general el formalismo propuesto por K. Duggal, que permite definir ecuaciones del tipo Gauss-Weingarten con el propósito de desarrollas conceptos geométricos clásicos (como el de umbilicidad). Además discutiremos algunos teoremas recientes de clasificación en el caso de los espacios de Robertson-Walker. En la segunda sesión abordaremos los principios básicos de la teoría causal, que es uno de los aspectos fundamentales en Relatividad Matemática. La tercera sesión está dedicada al estudio de las subavariedades nulas desde un punto de vista intrínseco, lo que permite interpretar en términos geométricos algunas de las propiedades más conocidas de la teoría de la Relatividad, como es el caso de los agujeros negros y la estructura asintótica del espacio-tiempo. Finalmente, en la última sesión exploraremos la noción reciente de espacios Lorentzianos de longitud, introducida apenas en 2018 por M. Kunzinger y C. Sämann. Este camopo de investigación de vertiginoso crecimiento nos permite establecer conceptos geométricos fundamentales (como el de cotas de curvatura) en contextos donde no es posible garantizar la regularidad de tipo C^2 del tensor de curvatura, o incluso en escenarios donde no existe ningún tensor métrico. En la sesión de problemas se analizarán los célebres teoremas de singularidad de S. Hawking y R. Penrose a la luz de las herramientas desarrolladas a lo largo del curso.