Expositor: Miguel Ángel Javaloyes, Universidad de Murcia – España.
Título: Una introducción a la Geometría de Finsler.
Resumen:
En este minicurso, intentaremos dar cuenta de la interacción entre la Geometría de Finsler y los espacios-tiempos en todas sus múltiples formas, y las técnicas que permiten manejar la dependencia de la dirección implícita en la Geometría de Finsler.
Partiremos de un espacio-tiempo estacionario mostrando que sus geodésicas luminosas están controladas por una métrica de Randers F(v)=√ [h(v,v)]+ω(v), siendo h una métrica de Riemann y ω una forma. Como consecuencia, la causalidad del espacio-tiempo estacionario puede describirse en términos de las propiedades de completitud de esta métrica de Randers. Por otro lado, se puede utilizar una métrica de Randers para encontrar soluciones al problema de Zermelo, cuyo objetivo es encontrar trayectorias que minimicen el tiempo en presencia de un viento o corriente (independiente del tiempo). Además, siempre es posible asociar un espaciotiempo estacionario a la métrica de Randers para estudiar el problema de Zermelo. Lo que es más interesante, cuando el viento depende del tiempo, el problema de Zermelo ya no se puede modelar con una métrica de Randers, pero el modelo de espacio-tiempo sigue funcionando, que en este caso ya no es estacionario. La moraleja de la historia es que todo espacio-tiempo clásico puede utilizarse para estudiar un determinado problema de Zermelo. Cuando la velocidad sin viento depende de la dirección, entonces hay que considerar los espacio-tiempos de Finsler. Todos estos resultados se combinan para dar una sorprendente aplicación del espacio-tiempo al estudio de la evolución de un incendio forestal.
El siguiente paso será introducir el cálculo anisotrópico para manejar los tensores que dependen de la dirección. Teniendo a nuestra disposición el cálculo anisotrópico introduciremos las conexiones anisotrópicas asociadas con una métrica de pseudo-Finsler y luego el tensor de curvatura de Chern y la curvatura bandera. Compararemos las conexiones anisotrópicas con las conexiones clásicas sobre el fibrado tangente y luego derivaremos las identidades de Bianchi. A continuación, definiremos geodésicas y campos de Jacobi, mostrando sus propiedades variacionales. También mostraremos cómo obtener las ecuaciones de Gauss-Codazzi de una subvariedad.
En la última parte volveremos a la noción de espacio tiempo de Finsler y estructura de conos, estableciendo la relación entre ambas nociones y mostrando como se pueden definir ejemplos de manera sencilla. Se introducirá la noción de campos de Killing y conformes, y se enfatizará el papel de estos últimos en las estructuras de conos. Discutiremos las ecuaciones de Einstein para los espacios-tiempos de Finsler y cómo se puede interpretar la divergencia cero del tensor energía-impulso anisotrópico usando el transporte paralelo. Cerraremos el minicurso con algunas palabras sobre cómo hacer que los espacios-tiempos de Finsler sean compatibles con el enfoque axiomático de Ehlers-Pirani-Schild sobre los fundamentos de la relatividad general.