Expositora: Sandra García, Universidad Nacional de Colombia – Colombia
Título: Introducción a la geometría diferencial de superficies
Keywords. #Arc length #curvature # torsion # Frenet trihedron #Gaussian curvature #mean curvature #ruler surface #minimal surface
Resumen
El objetivo de este curso es presentar algunas nociones básicas sobre la geometría de curvas y superficies en el espacio Euclídeo. Iniciaremos con un tratamiento de curvas regulares en R3, centrándose en el estudio de sus propiedades locales que aparecen de forma natural al estudiar las superficies. En concreto, introduciremos los conceptos esenciales de curvas parametrizadas, longitud de arco, curvatura, torsión y el triedro de Frenet.
Comenzaremos el estudio de superficies desarrollando el concepto de superficie regular en R3 y algunas nociones fundamentales como el plano tangente y la primera forma fundamental de una superficie. Posteriormente, introduciremos uno de los conceptos más importantes para el estudio de la geometría extrínseca de superficies: la aplicación de Gauss. La aplicación de Gauss nos permitirá definir la segunda forma fundamental, que será esencial para introducir dos de las formas más comunes de medir la curvatura de una superficie, la media y la curvatura de Gauss. Demostraremos que la curvatura de Gauss es, de hecho, un concepto intrínseco, ya que es invariante por isometrías locales, mientras que la curvatura media es extrínseca.
Se introducirán algunas familias importantes de superficies regulares, como superficies regladas y mínimas. A lo largo del curso se presentarán muchos ejemplos de curvas y superficies conocidas.
Este curso representa la base para una introducción al “Análisis Geométrico en Superficies”, que se estudiará en un curso diferente.