Líder de taller: Gerardo Hernández, UNAM-México.
Título: Modelos y Métodos Numéricos en Dinámica de Fluidos Geofísicos: de la Conservación a la Simulación de Ondas Atmosféricas
Resumen:
Este taller introducirá a los participantes en los conceptos y herramientas fundamentales de la dinámica de fluidos geofísicos y el modelado numérico. El objetivo es que los estudiantes comprendan los fundamentos físicos y matemáticos que sustentan ciertos modelos matemáticos basados en Ecuaciones Diferenciales Parciales, así como sus aplicaciones a la dinámica atmosférica y oceánica, y los desafíos asociados con su resolución numérica. Se hará hincapié tanto en la intuición física como en las técnicas computacionales necesarias para explorar fenómenos complejos.
- Conservación de la masa y la ecuación de convección
- Ecuaciones de Lorenz y caos
- Métodos numéricos para la ecuación de transporte y estabilidad numérica
- Ecuaciones de aguas someras (Shallow-Water), linealización y ondas de Kelvin
- Ecuaciones anelásticas, la aproximación de Boussinesq y simulaciones numéricas
Una comprensión sólida de estos temas es esencial para estudiantes y jóvenes investigadores interesados en la dinámica atmosférica, la oceanografía o la matemática aplicada. A lo largo del taller, los participantes adquirirán no solo los fundamentos teóricos, sino también criterios prácticos para la construcción y el análisis de modelos numéricos, reconociendo al mismo tiempo los límites intrínsecos de la predictibilidad y la importancia de las aproximaciones en la investigación científica.
Líder de taller: Jorge Velasco, UNAM-México.
Título: Modelos Básicos en Epidemiología
Resumen:
Este curso ofrece una visión general de los modelos clásicos en epidemiología, tanto para enfermedades infecciosas de transmisión directa como para enfermedades transmitidas por vectores. Se revisarán los modelos SIS, SIR y SEIR, así como el modelo de Ross–Macdonald y sus extensiones para incorporar heterogeneidad, estructura por edad, grupos de riesgo, cepas múltiples y generalizaciones relacionadas.
- Modelos para enfermedades de transmisión directa: SIS, SIR, SEIR.
- Modelos para enfermedades transmitidas por vectores: Modelo de Ross–Macdonald.
- El número básico de reproducción.
- Incorporación de heterogeneidad: estructura por edad, grupos de riesgo.
- Aplicaciones y ejemplos.
Líder de taller: Karina Navarro, Weizmann Institute of Science-Colombia.
Título: Espacios de Hilbert con núcleo reproductivo en grupos de Lie compactos
Resumen
En este curso, estudiamos la continuidad, simetría y positividad de un núcleo integral en un grupo de Lie compacto G en términos de su símbolo. A continuación, tratamos el Espacio de Hilbert con Núcleo Reproductivo (RKHS, por sus siglas en inglés) que genera dicho núcleo y, finalmente, presentamos estimaciones para los números de entropía o números de cobertura de la bola unidad del RKHS de funciones sobre $G$. El comportamiento asintótico de las cotas obtenidas depende de la dimensión del grupo y del orden de la traza del símbolo.
Líder de taller: Jorge Mozo, Universidad de Valladolid – España.
Título: Ecuaciones Diferenciales Holomorfas
Resumen:
El objetivo de este proyecto es estudiar problemas analíticos y algebraicos derivados de las ecuaciones diferenciales holomorfas con puntos singulares. Los participantes explorarán tanto soluciones convergentes como divergentes e intentarán deducir propiedades relacionadas con la divergencia de las soluciones.
Como primer paso, se proporcionarán a los estudiantes ejemplos de ecuaciones diferenciales que resolverán mediante métodos clásicos. Observarán que algunas de estas ecuaciones admiten soluciones expresables a través de series divergentes.
En el segundo paso, analizarán las diferencias entre las ecuaciones con soluciones convergentes y aquellas con soluciones divergentes. Los estudiantes descubrirán la distinción entre singularidades regulares e irregulares. Se utilizarán ejemplos de singularidades regulares, como las ecuaciones hipergeométricas, para construir nuevos ejemplos de orden superior y sus soluciones.
Un tercer objetivo será examinar los tipos de divergencia en puntos singulares irregulares. Utilizando polígonos de Newton, los participantes calcularán soluciones en ciertos casos y se introducirán en la teoría de sumabilidad.
Finalmente, habrá un componente computacional. Los participantes investigarán por qué algunas ecuaciones diferenciales lineales de orden superior tienen soluciones explícitas mientras que otras no. Se introducirán y aplicarán algoritmos básicos, como el algoritmo de Kovacic, para construir ejemplos específicos.
Al final de cada semana, los participantes prepararán un póster para presentarlo a los demás grupos. En estos pósteres, no solo mostrarán los resultados estudiados, sino que también discutirán problemas adicionales —posiblemente problemas abiertos— que podrían servir como direcciones para estudios posteriores.
Líder de taller: Luis Alías, Universidad de Murcia – España.
Título: Una introducción al análisis geométrico en superficies
Resumen:
El objetivo de este proyecto es introducir a los estudiantes en las técnicas más avanzadas del análisis geométrico y sus aplicaciones al estudio de la geometría global de superficies en el espacio euclídeo. En particular, intentaremos hacer accesibles al nivel de los estudiantes diversos temas de investigación, algunos de ellos muy recientes, sobre el comportamiento global de la curvatura y la topología de las superficies en el espacio euclídeo.
Líder de taller: Mynor Melara / Ingrid Martínez, Universidad de El Salvador – El Salvador.
Título: Cálculo de variaciones y aplicaciones
Resumen:
Este taller pretende ser una introducción al cálculo de variaciones, el cual se ocupa esencialmente de minimizar o maximizar funcionales integrales, estudiando algunas de sus aplicaciones, particularmente en el área de la geometría, con énfasis en el planteamiento y la resolución de una serie de problemas propuestos.
Primero, daremos algunos preliminares y estudiaremos el concepto de funcionales y variaciones, las fórmulas para la primera y segunda variación y la ecuación de Euler-Lagrange; luego, procederemos a comprender y resolver problemas variacionales. Como aplicación, estudiaremos el funcional anisotrópico y la geometría de superficies inmersas en el espacio euclídeo tridimensional con curvatura media anisotrópica constante.